DIAS DE COMBINATORIA 2025

• PAMELA E. HARRIS Department of Mathematical Sciences, University of Wisconsin at Milwaukee, USA.

Curso: Computaciones en Permutaciones y sus Generalizaciones

Este curso se adentra en el fascinante mundo de las permutaciones y sus generalizaciones, enfocándose en aspectos computacionales y combinatorios. Una permutación de un conjunto [n] es un arreglo en el cada elemento aparece una única vez. Exploraremos varias estadísticas que pueden derivarse de las permutaciones, tales como descensos y ascensos.  

Los temas clave incluyen:

• Contar permutaciones con características específicas, como el número de descensos y ascensos.

• Investigar la historia y la importancia de las estadísticas discretas en permutaciones, inspiradas en el trabajo de MacMahon de principios del siglo XX.

• Estudiar los polinomios de descenso y sus propiedades, incluidos sus coeficientes y raíces.

• Explorar picos y valles dentro de las permutaciones y comprender los polinomios de pico.

El curso también fomentará la exploración de nuevos conjuntos y estadísticas combinatorias utilizando recursos como la base de datos FindStat. Según el tiempo lo permita, incluso podríamos realizar alguna investigación original en áreas potenciales de investigación, que incluyen examinar permutaciones dentro de diferentes estructuras combinatorias, como funciones de estacionamiento y clasificaciones de Fubini, así como desarrollar y estudiar nuevas estadísticas de permutaciones.

• RIGOBERTO FLÓREZ  Department of Mathematical Sciences, The Citadel, The Military College of South Carolina.

Curso: Introducción a las Matroides

Un matroide es una axiomatización del concepto de dependencia e independencia lineal. El concepto de independencia está presente en varias áreas de las matemáticas, incluyendo la teoría de grafos, los espacios lineales y los campos de extensión transcendental (entre otros). En tales casos, decimos que el matroide es gráficamentemente, linealmente o algebraicamente representable, respectivamente. Sin embargo, un matroide que es representable en un área de las matemáticas puede no serlo en otras áreas.

Por ejemplo, un conjunto de aristas de un grafo es una matroide donde un subconjunto de es independiente si sus elementos forman árboles. Un conjunto de columnas de una matriz es una matroide, donde un subconjunto de es independiente si sus elementos son linealmente independientes. Esta estructura también está presente en otras áreas de las matemáticas, como en los planos proyectivos y las extensiones trascendentales de campos (matroides algebraicos). Si un matroide abstracto puede escribirse como un conjunto de extensiones trascendentales de campos, entonces se dice ser algebraicamente representable. 

En este mini-curso damos las ideas básicas de los matroides y sus distintas representaciones. Al final de este curso nos centraremos en matroides algebraicos, los cuales han sido más difíciles de estudiar debido a su naturaleza algebraica. Por lo tanto no hay tantos resultados como quisiéramos. Posteriormente mostraremos cómo usar la conjugada armónica, concepto que viene la geometría proyectiva, para resolver algunos problemas de los matroides algebraicos.

Los temas más relevantes de este curso están en: Matroids: A Geometric Introduction by Gary Gordon and Jennifer McNulty. Cambridge University Press, 2012.

• YURIKO PITONES   Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana- Iztapalapa, México.

Curso: Combinatoria en Teoría de Códigos

En este curso daremos una introducción a la teoría de códigos y se explorarán desde un enfoque combinatorio, algunos de los problemas más interesantes en esta área. Nos enfocaremos en el análisis de las propiedades combinatorias de diversas estructuras asociadas a los códigos, tales como grafos, matroides y complejos simpliciales. Además, se establecerán relaciones entre estas propiedades y los parámetros básicos de los códigos. El objetivo de este curso es entender los fundamentos de la teoría de códigos desde un punto de vista combinatorio.

Referencias: 

 Cameron, Peter J., Designs, graphs, codes and their links, Cambridge University Press, 1996. 

Chang S., Hyun J.Y.: Linear codes from simplicial complexes. Des. Codes Cryptogr. 86(10), 2167–2181(2018).

Elwyn R. Berlekamp, A Survey of Algebraic Coding Theory: Lectures Held at the Department for Automation and Information, Springer, 1972.

J.H. van Lint, Introduction to Coding Theory, Vol 86, Graduate Texts in Mathematics, Springer Science & Business Media, 2012.

• DIEGO VILLAMIZAR Departamento de Matemáticas, Xavier University of Lousiana, USA.

Curso: Combinatoria Probabilística

En este cursillo usaremos técnicas y herramientas de la probabilidad para demostrar teoremas deterministas en combinatoria. La idea del uso de estas técnicas en combinatoria es llamada el método probabilístico, usada y popularizada por Paul Erdos, que busca probar la existencia de un objeto combinatorio basándose en muestras aleatorias de objetos y probando que la probabilidad de obtener las propiedades deseadas sea mayor que cero. Introduciremos los resultados probabilísticos a usar y veremos las técnicas en acción con problemas de la combinatoria enumerativa, la teoría de grafos y la teoría de códigos, entre otras.

Referencias:

1. N. Alon and J. H. Spencer. The Probabilistic Method. Wiley Publishing, 2016.

2. Y. Zhao. Probabilistic Methods in Combinatorics. Lecture notes, 2020.